פערים חברתיים

[XYZ]

הקו של הפונקציה רוצה להגיע לשם.

כן, חוץ מהנקודה (666,666) שלשם הקו של הפונקציה מפחד להגיע.
המטרה שלי, אפילו שככה זה נראה, היא לא לחפור לך. אני רוצה שתבין שכביכול החשיבה המתמטית שאתה חושב שנתנו לך בלימודי הבגרות איננה באמת כזאת. זה לא ממקום של לזלזל בך, אתה נראה בחור חכם ואני בטוח שאם תתעניין בזה/תלמד באוניברסיטה תוכל להבין מה באמת אומר המושג גבול.

 

[James Devlin]

שוב, אין שום דרך להבין דבר פשוט כמו נגזרת של פולינום מבחינת היגיון ללא פורמליזם. תן לי דרך אינטואיטיבית/חשיבתית להבין למה כשגוזרים פולינום כופלים אותו בחזקה ומורידים את החזקה ב1? אחרת אין ברירה אלא פשוט להשתמש בנוסחה באופן עיוור בלי לחשוב... ובקשר להערה הראשונה, אין לי כוונה להתלהב על אף אחד, בגלל שבמקרה זה חלק מהמושגים מוכרים לי אני רוצה להבין בתכלס איזה שינוי אתה מציע לעשות, כי כמו שאמרתי הבנתי את הכוונה שלך אבל אני לא רואה דרך פרקטית לבצע אותה.

מה זה "להבין משהו מבחינת הגיון"? גם אם הבנת את כוונתי (ואני לא בטוח שירדת לסוף דעתי), אתה מדבר על משהו אחר. אתה גם מגדיר "הבנה" ו"חשיבה" כהבנה של כל הפורמליזם המלא שעומד מאחורי המושג ומבחינתך אין מקום להבין רק חלק מהפורמליזם.

לגבי הדוגמה של נגזרת של פולינום - אני לא מתכוון לתת דרך אינטואיטיבית להבין זאת. אני לא מורה, עבר המון זמן מאז שאני למדתי את הדברים וזו רק דוגמה למושג אחד מתוך שלל החומר שנלמד בתיכון.

אני טוען דבר אחר ומאוד פשוט. לימודי מתמטיקה בתיכון הם בזיון. שנינו מסכימים על כך שמלמדים בלי שום פורמליזם (שאת זה אגב אתה העלית, לא אני) ושאין חשיבה (שזה דבר אחר). אפשר ללמד בצורה שונה וברמה גבוהה יותר (יותר פורמליזם, שאלות יותר מאתגרות ושדורשות יותר חשיבה).גם על זה אני מניח שאנחנו מסכימים. אתה מבקש דרך פרקטית לעשות זאת? יש דוגמאות למכביר - חדו"א לכלכלנים, מתמטיקה לכימאים וכן הלאה.

עכשיו, אתה לא מסכים איתי שעדיף שילמדו ברמה גבוהה יותר? שעדיף שילכו לכיוון של חדו"א לכלכלנים (או משהו כזה, אל תיטפל לדוגמא הספציפית הזו) ולא ילמדו את מה שמלמדים היום? לדעתך באמת אין שום מקום להעלות קצת את הרמה גם אם לא מביאים את כל הפורמליזם המלא? עדיין לא הבנתי מה כל כך פסול באינספור נקודות הביניים שנמצאות בין להוכיח פורמלית הכל לבין לא להוכיח כלום. תגיד לי אם אתה חולק על כך שאפשר להעלות את הרמה גם מבלי ללמד אינפי3 בכיתה י"א ושיש מקום לעשות זאת, כי עד עכשיו אנחנו פשוט מדברים על דברים שונים.

סתם דוגמא - אינפי לפיזיקאים הוא קורס ברמה יחסית גבוהה, למרות שלא נותנים שם הגדרה של שדה ולא מוכיחים את כל המשפטים שמוכיחים באינפי למתמטיקאים. לדעתך זה לא היה מעולה אם תלמידי תיכון היו יודעים אינפי ברמה הזו? זה כמובן overkill מטורף לרמה של תיכון, אבל אני מדגים בעזרת הקצנה.

בכל מקרה, הויכוח הזה הופך לחפירה אפילו יותר גדולה מהחפירה על הגבול של אחד חלקי איקס 😉

 

[theidan]

כן, חוץ מהנקודה (666,666) שלשם הקו של הפונקציה מפחד להגיע.
המטרה שלי, אפילו שככה זה נראה, היא לא לחפור לך. אני רוצה שתבין שכביכול החשיבה המתמטית שאתה חושב שנתנו לך בלימודי הבגרות איננה באמת כזאת. זה לא ממקום של לזלזל בך, אתה נראה בחור חכם ואני בטוח שאם תתעניין בזה/תלמד באוניברסיטה תוכל להבין מה באמת אומר המושג גבול.

אני מקבל את החפירות שלך. זה בסדר.
אף פעם לא למדתי את מוסג הגבול לעומק, רק במעורפל, ואני אמרתי את מה שאני כרגע חושב לנכון.
ברגע שאני אלמד בצורה רצינית יותר מתמטיקה, אז אני אדע את ההגדרה הרצינית יותר.
כמו כל דבר בחיים, כל דבר נכון עד שלב מסוים.

 

[coldfire]

ללמד יותר חומר לא שקול ללעלות את הרמה.

 

[James Devlin]

אפשר לסיים תואר במתמטיקה אם יודעים 60% מהחומר, וגם אם זוכרים דברים מסויימים בלי לדעת את המשמעות שלהם.
נ.ב. גם אתה נפלת על הילד, ואתה יותר כבד 😛

אתה מדבר מניסיון? 😃 זה לא ממש ככה, לפחות לא אצלנו..

 

[XYZ]

מה זה "להבין משהו מבחינת הגיון"? גם אם הבנת את כוונתי (ואני לא בטוח שירדת לסוף דעתי), אתה מדבר על משהו אחר. אתה גם מגדיר "הבנה" ו"חשיבה" כהבנה של כל הפורמליזם המלא שעומד מאחורי המושג ומבחינתך אין מקום להבין רק חלק מהפורמליזם.

לגבי הדוגמה של נגזרת של פולינום - אני לא מתכוון לתת דרך אינטואיטיבית להבין זאת. אני לא מורה, עבר המון זמן מאז שאני למדתי את הדברים וזו רק דוגמה למושג אחד מתוך שלל החומר שנלמד בתיכון.

אני טוען דבר אחר ומאוד פשוט. לימודי מתמטיקה בתיכון הם בזיון. שנינו מסכימים על כך שמלמדים בלי שום פורמליזם (שאת זה אגב אתה העלית, לא אני) ושאין חשיבה (שזה דבר אחר). אפשר ללמד בצורה שונה וברמה גבוהה יותר (יותר פורמליזם, שאלות יותר מאתגרות ושדורשות יותר חשיבה).גם על זה אני מניח שאנחנו מסכימים. אתה מבקש דרך פרקטית לעשות זאת? יש דוגמאות למכביר - חדו"א לכלכלנים, מתמטיקה לכימאים וכן הלאה.

עכשיו, אתה לא מסכים איתי שעדיף שילמדו ברמה גבוהה יותר? שעדיף שילכו לכיוון של חדו"א לכלכלנים (או משהו כזה, אל תיטפל לדוגמא הספציפית הזו) ולא ילמדו את מה שמלמדים היום? לדעתך באמת אין שום מקום להעלות קצת את הרמה גם אם לא מביאים את כל הפורמליזם המלא? עדיין לא הבנתי מה כל כך פסול באינספור נקודות הביניים שנמצאות בין להוכיח פורמלית הכל לבין לא להוכיח כלום. תגיד לי אם אתה חולק על כך שאפשר להעלות את הרמה גם מבלי ללמד אינפי3 בכיתה י"א ושיש מקום לעשות זאת, כי עד עכשיו אנחנו פשוט מדברים על דברים שונים.

סתם דוגמא - אינפי לפיזיקאים הוא קורס ברמה יחסית גבוהה, למרות שלא נותנים שם הגדרה של שדה ולא מוכיחים את כל המשפטים שמוכיחים באינפי למתמטיקאים. לדעתך זה לא היה מעולה אם תלמידי תיכון היו יודעים אינפי ברמה הזו? זה כמובן overkill מטורף לרמה של תיכון, אבל אני מדגים בעזרת הקצנה.

בכל מקרה, הויכוח הזה הופך לחפירה אפילו יותר גדולה מהחפירה על הגבול של אחד חלקי איקס 😉

דבר ראשון אפשר להגיד על כל דבר שהוא ביזיון, ותמיד אפשר לשפר משהו, ותמיד השאלה היא "איך?". לא אהבת את הדוגמה על נגזרת של פולינום, אבל גם לא הבאת עד עכשיו דוגמה למשהו שהיה אפשר להסביר ברמת הבנה במסגרת התיכון ולא שינון נוסחה. מה זה להבין "חלק מהפורמליזם"? הפורמליזם הוא שלם מהגדרתו, חלק ממנו כשלעצמו אינו פורמלי, וכפי שציינתי, אפילו הדברים הבסיסיים יחסית לא ניתן להבין ברמה גבוהה יותר בלי פורמליזם (עם יוצא מן הכלל של גאונים ומתמטיקאים דגולים). שאלות שדורשות חשיבה כמעט תמיד הן שאלות שדורשות הבנה מהותית של הגדרות, שמצידן דורשת כמעט תמיד פורמליזם.
לגבי הקורסים שציינת כדוגמה, אני אחזק את ידיו של coldfire. מניסיוני האישי עם שני קורסים מהסוג הזה: "מתמטיקה לפיסיקאים" (נקרא גם "מתמטיקה שימושית") 1 ו2 אני יכול להגיד שהקורס הוא ברמת חשיבה של תיכון ולא יותר, לאף אחד מהסטודנטים, לרבות המצטיינים ביותר אין מושג מה בעצם הם עושים ונטו זוכרים את הדרך לפתור שאלה מסוג X לפעמים אפילו בלי להבין באמת את השאלה. ההסבר האינטואיטיבי/"הוכחות" הן קצרות מאוד לא עקביות ולא ברורות. ההבדל היחיד בין הקורסים האלה למתמטיקה בתיכון היא בכמות הידע הגדולה מאוד שהם מכסים באינטגרציה ומשוואות דיפרנציאליות, מעבר לזה זו בדיוק אותה רמה כמו בתיכון.

---------- התגובה התווספה ב 21:55 ---------- התגובה הקודמת הייתה ב 21:54 ----------

אתה מדבר מניסיון? 😃 זה לא ממש ככה, לפחות לא אצלנו..

לא מניסיון. מה הצלחת לסיים תואר ראשון במתמטיקה בלי לדעת מה זה שדה ארכימדי?

 

[James Devlin]

דבר ראשון אפשר להגיד על כל דבר שהוא ביזיון, ותמיד אפשר לשפר משהו, ותמיד השאלה היא "איך?". לא אהבת את הדוגמה על נגזרת של פולינום, אבל גם לא הבאת עד עכשיו דוגמה למשהו שהיה אפשר להסביר ברמת הבנה במסגרת התיכון ולא שינון נוסחה. מה זה להבין "חלק מהפורמליזם"? הפורמליזם הוא שלם מהגדרתו, חלק ממנו כשלעצמו אינו פורמלי, וכפי שציינתי, אפילו הדברים הבסיסיים יחסית לא ניתן להבין ברמה גבוהה יותר בלי פורמליזם (עם יוצא מן הכלל של גאונים ומתמטיקאים דגולים). שאלות שדורשות חשיבה כמעט תמיד הן שאלות שדורשות הבנה מהותית של הגדרות, שמצידן דורשת כמעט תמיד פורמליזם.
לגבי הקורסים שציינת כדוגמה, אני אחזק את ידיו של coldfire. מניסיוני האישי עם שני קורסים מהסוג הזה: "מתמטיקה לפיסיקאים" (נקרא גם "מתמטיקה שימושית") 1 ו2 אני יכול להגיד שהקורס הוא ברמת חשיבה של תיכון ולא יותר, לאף אחד מהסטודנטים, לרבות המצטיינים ביותר אין מושג מה בעצם הם עושים ונטו זוכרים את הדרך לפתור שאלה מסוג X לפעמים אפילו בלי להבין באמת את השאלה. ההסבר האינטואיטיבי/"הוכחות" הן קצרות מאוד לא עקביות ולא ברורות. ההבדל היחיד בין הקורסים האלה למתמטיקה בתיכון היא בכמות הידע הגדולה מאוד שהם מכסים באינטגרציה ומשוואות דיפרנציאליות, מעבר לזה זו בדיוק אותה רמה כמו בתיכון.

---------- התגובה התווספה ב 21:55 ---------- התגובה הקודמת הייתה ב 21:54 ----------



לא מניסיון. מה הצלחת לסיים תואר ראשון במתמטיקה בלי לדעת מה זה שדה ארכימדי?

טוב, אני אשתדל להגיב בקצרה כי הדיון חוזר על עצמו.

כמו שכתבתי קודם, אני לא מתכוון להיכנס לפינה של דוגמאות ספציפיות. זה לא משנה בשום צורה את הטיעון שלי והוא שבהחלט ניתן ללמד בתיכון ברמה גבוהה יותר. אני מופתע שאתה בכלל חולק על כך. איך לעשות זאת? בדיוק כמו שעושים זאת באינספור הקורסים המתמטיים ברמות השונות ובפקולטות השונות. הכוונה בלהבין "חלק מהפורמליזם" הוא לוותר על הגדרות שאפשר להסתדר בלעדיהן (למשל, נתנו לכם הגדרה פורמלית לקבוצה על ידי אקסיומות צורמלו-פרנקל? לימדו אתכם את אקסיומות השדה?) ולתת חלק מהמשפטים ללא הוכחה.

אבל שוב, זה פחות מתקשר לכוונה המקורית שלי. אפשר לתת בעיות שדורשות חשיבה גם בלי שום פורמליזם. שאלה לדוגמה שנתנו לי בזמנו (לא להיטפל לדוגמה בבקשה..): מצא מתי sin(x)=x. אפילו אם למשל מלמדים אינטגרל כפונ' קדומה מבלי להוכיח זאת (כלומר, בלי פורמליזם), אבל מבקשים לפתור אינטגרלים קשים (שלא נפתרים על ידי נוסחה) - גם זה דורש יותר חשיבה מסתם להציב בנוסחא. אפילו אם נותנים את כל המשפטים באינפי1 ללא הוכחה, ונותנים תרגילים מאתגרים שמתבססים עליהם - גם זה דורש חשיבה והרבה יותר טוב מהמצב היום. אין לי ספק שמשרד החינוך יכול למצוא את הדרך לתת חלק מהפורמליזם המתמטי ולתת תרגילים שדורשים יותר חשיבה, בדיוק כמו שעושים זאת בקורסים למהנדסים ופיזיקאים (למען הסר ספק, ההבדל בין הקורסים האלו לתיכון הוא ממש לא היקף החומר).

אצלנו הפיזיקאים למדו אינפי1 ברמה מאוד גבוהה, שלא נופלת בהרבה מהרמה של הקורס למתמטיקאים. כמו שכתבתי, ויתרו על הגדרות שניתן להסתדר בלעדיהן ונתנו חלק מהמשפטים ללא הוכחה. זה בדיוק מה שאני מציע לעשות בתיכון, ברמה זו או אחרת..


לגבי התגובה השנייה שלי. מה שכתבת, לגבי "לסיים תואר במתמטיקה ולדעת רק 60% מהחומר" - זה שטויות במיץ. נקודה. כמו שחשבתי, אתה כמובן לא מדבר מנסיון.. כדאי לך להימנע מהצהרות כל כך מפוצצות אם הן לא מתבססות על כלום..

 

[temp]

אפשר לסיים כל תואר ראשון עם כמעט בלי ידע, רוב הדרישה היא לדעת לפתור מבחנים כמו שצריך וניתן לעשות את זה בלי לדעת יותר מידי.

עבודות הן בדרך כלל נעשות ברמה משותפת(העתקה או הכוונה).

ובקשר להעלאת הרמה לתיכונים, זה אפשרי אבל זה צריך להעשות מהעלאה כללית של החינוך מכיתה א, ולא להיזכר בתיכון ורק במתמטיקה.

 

[XYZ]

לגבי התגובה השנייה שלי. מה שכתבת, לגבי "לסיים תואר במתמטיקה ולדעת רק 60% מהחומר" - זה שטויות במיץ. נקודה. כמו שחשבתי, אתה כמובן לא מדבר מנסיון.. כדאי לך להימנע מהצהרות כל כך מפוצצות אם הן לא מתבססות על כלום..

זה לא "שטויות במיץ. נקודה." וזה יכול להיות נכון לכל תואר באותה מידה, די לחרטט, אתה גם ככה לא מצליח לשכנע בזה אף אחד פה (סליחה שאני צריך לסיים תואר במתמטיקה בשביל לדעת משהו על מבחנים ועל איך מקבלים ציון)

ולגבי אותו נושא שכבר טחנו, ואתה עדיין הולך סחור סחור, אז עזוב.. ניסיתי לקבל ממך תשובה שאני אלמד ממנה משהו (לא ראיתי קורס שהוא האמצע בין אינפי לרמת תיכון ורציתי לדעת איך זה אפשרי) אבל כנראה שאתה לא יודע או אין לך כוח אז אתה פשוט חוזר על דבריך שוב ושוב כדי שלא ייצא שתדבר אחרון.

 

[coldfire]

בטח שיש. פיזיקאים יודעים להשתמש בכלים של מתמטיקה לא רע בכלל וגם הקורסים שלהם ברמה די גבוהה והם לא חייבים לדעת את כל הפילוסופיה מאחורי זה. כנ"ל לגבי אנשי מחשבים.

 

[XYZ]

בטח שיש. פיזיקאים יודעים להשתמש בכלים של מתמטיקה לא רע בכלל וגם הקורסים שלהם ברמה די גבוהה והם לא חייבים לדעת את כל הפילוסופיה מאחורי זה. כנ"ל לגבי אנשי מחשבים.

אבל נגיד הייתה להם נוסחה מתמטית כלשהי, ונגיד שהם לא הוכיחו אותה בצורה באמת מסודרת. האם הם יודעים מה הנוסחה באמת אומרת ולמה היא נכונה (אפילו ברמה אינטואיטיבית) כי כשאני בדרך כלל רואה נוסחה לא מוכחת אין לי מושג מה ההיגיון ואני פשוט אשתמש בה על עיוור בלי לחשוב.

 

[coldfire]

אבל נגיד הייתה להם נוסחה מתמטית כלשהי, ונגיד שהם לא הוכיחו אותה בצורה באמת מסודרת. האם הם יודעים מה הנוסחה באמת אומרת ולמה היא נכונה (אפילו ברמה אינטואיטיבית) כי כשאני בדרך כלל רואה נוסחה לא מוכחת אין לי מושג מה ההיגיון ואני פשוט אשתמש בה על עיוור בלי לחשוב.

הם פיתחו אינטואיציה טובה כדי להבין מה זה אומר. גם אותך לא מעניין באמת מה זה שדה ארכימדי או האם ההוכחה שלך תופסת בלי אקסיומת הבחירה. ואתה גם לא נזכר שיש את משפט השלמות של גדל וחושב האם זה בכלל אפשרי להוכיח את מה שאתה רוצה להוכיח.

מתמטיקה זה לא אוסף של הוכחות פורמליות. אתה גם לא כותב הוכחות פורמליות. אם היית נדרש לכתוב הוכחה פורמלית לכל דבר היית מתאבד. מתמטיקה זו שפה לכל דבר. בזמן שאתה לומד אותה אתה מקבל אינטואיציה לגבי המושגים בשפה הזאת וממשיך משם. כשאתה רואה אינטגרל על הנייר, אתה לא עובר במוח שלך על כל ההגדרות הנדרשות כדי להבין מה זה אינטגרל. זה כבר חלק מהשפה שלך, וכך זה גם אצל פיזיקאים שלא בהכרח יודעים מה זה שדה ארכימדי.

 

[מר לטיסימוס]

הם פיתחו אינטואיציה טובה כדי להבין מה זה אומר. גם אותך לא מעניין באמת מה זה שדה ארכימדי או האם ההוכחה שלך תופסת בלי אקסיומת הבחירה. ואתה גם לא נזכר שיש את משפט השלמות של גדל וחושב האם זה בכלל אפשרי להוכיח את מה שאתה רוצה להוכיח.

מתמטיקה זה לא אוסף של הוכחות פורמליות. אתה גם לא כותב הוכחות פורמליות. אם היית נדרש לכתוב הוכחה פורמלית לכל דבר היית מתאבד. מתמטיקה זו שפה לכל דבר. בזמן שאתה לומד אותה אתה מקבל אינטואיציה לגבי המושגים בשפה הזאת וממשיך משם. כשאתה רואה אינטגרל על הנייר, אתה לא עובר במוח שלך על כל ההגדרות הנדרשות כדי להבין מה זה אינטגרל. זה כבר חלק מהשפה שלך, וכך זה גם אצל פיזיקאים שלא בהכרח יודעים מה זה שדה ארכימדי.

הרשה לי לשאול אותך דבר מה. אקסיומת הבחירה, זה במתמטיקה סופית או אינסופית??

 

[coldfire]

הרשה לי לשאול אותך דבר מה. אקסיומת הבחירה, זה במתמטיקה סופית או אינסופית??

אני לא מבין את השאלה. תנסה להשתמש בפורמליזם מלא בבקשה.

 

[מר לטיסימוס]

אני לא מבין את השאלה. תנסה להשתמש בפורמליזם מלא בבקשה.

אה, זה בדיוק העניין. פורמליזם טוען שאין משמעות לרעיונות/סמלים/הגדרות וכו' מעבר למסגרת השיטתית שבה הם מוגדרים. כלומר שלמספר "1" אין שום משמעות חוץ מתמטית (וגם אז רק לפי המסגרת הספיציפית שמגדירה אותו). עכשיו: האם מתמטיקה סופית ומתמטיקה אינסופית הן אותה מסגרת שיטתית? ואם לא, איך אפשר לדבר על אקסיומת הבחירה בשתיהן???

 

[coldfire]

אה, זה בדיוק העניין. פורמליזם טוען שאין משמעות לרעיונות/סמלים/הגדרות וכו' מעבר למסגרת השיטתית שבה הם מוגדרים. כלומר שלמספר "1" אין שום משמעות חוץ מתמטית (וגם אז רק לפי המסגרת הספיציפית שמגדירה אותו). עכשיו: האם מתמטיקה סופית ומתמטיקה אינסופית הן אותה מסגרת שיטתית? ואם לא, איך אפשר לדבר על אקסיומת הבחירה בשתיהן???

מה זה מתמטיקה סופית ואינסופית?????????

 

[StarDust]

מתמטיקה שעוסקת בקבוצות סופיות, לעומת מתמטיקה שעוסקת לכל הפחות בקבוצות בעלות עצמה 0א (בנות מנייה).

 

[coldfire]

מתמטיקה שעוסקת בקבוצות סופיות, לעומת מתמטיקה שעוסקת לכל הפחות בקבוצות בעלות עצמה 0א (בנות מנייה).

אתה צוחק, נכון?

 

[קרמבו]

אה, זה בדיוק העניין. פורמליזם טוען שאין משמעות לרעיונות/סמלים/הגדרות וכו' מעבר למסגרת השיטתית שבה הם מוגדרים. כלומר שלמספר "1" אין שום משמעות חוץ מתמטית (וגם אז רק לפי המסגרת הספיציפית שמגדירה אותו). עכשיו: האם מתמטיקה סופית ומתמטיקה אינסופית הן אותה מסגרת שיטתית? ואם לא, איך אפשר לדבר על אקסיומת הבחירה בשתיהן???

נשמע שיש לך אחלה דילר... 🤩

 

[StarDust]

אתה צוחק, נכון?

שכחתי את הסמיילי, אבל כן. 😉