לטובי המוחות בפורום- אתגר בגיאומטריה

[Chicago]

המספרים המסומנים הם אורכי הקטעים, החידה היא למצוא את הזוית המסומנת. המצולע הנתון הוא ריבוע, על כל המשתמע מכך.
אורך צלעות הריבוע לא ידוע, והקטעים שמסומנים ב 3 ו 1 הם
לא אלכסון של הריבוע.
נותן החידה הבטיח לי שאין פה שימוש בשום טכניקה סופר מתקדמת- רק תכונות בסיסיות של ריבוע ומשולש, בלי טריגו. 😵

 

[Mike Bikov]

אתה רוצה פיתרון או שאתה רוצה רמז?

 

[Chicago]

פיתרון ללא טריגו

 

[Mike Bikov]

פיתרון ללא טריגו

אתן לך רמז, אתה צריך להוכיח את משפט פיתגורס וכך תגיע לזווית. הזווית היא 135 מעלות, ככה שתדע שאתה בכיוון הנכון.
רמז נוסף יהיה שתצטרך לבנות צורה מחוץ לריבוע בשביל להגיע לתשובה.

 

[hanan]

פיתרון ללא טריגו​

מצטער שאין לי זמן לפתור עד הסוף.
לצלע הריבוע נקרא X
אני הייתי מוריד אנך מהחיתוך של נקודה 1 ו-3 לשתי הצלעות. נוצרים 3 משולשים ישרי זוית.
המשולש בפינה השמאלית מורכב מיתר באורך 1, האנך שהורדנו נקרא לו a והמרחק בין החיתוך של האנך וצלע הריבוע נקרא לו b.
כלומר משולש ראשון: יתר באורך 1 ושתי צלעות באורך a ו- b. עפ"י פיתגורס a^2+b^2=1^2 . ^ סימון למשהו בריבוע.
המשולש השני יש לו צלע אחת a, צלע שניה באורך X פחות b והיתר הוא 2.
המשולש השלישי, יתר שווה 3, שתי הצלעות הן x-a ו-x-b. וזה נותן לך משוואה 3
3 משוואות ב-3 נעלמים. ואז תגלה שהמשולשים הם או משולש זהב זויות 30,60,90 או משולש כסף 45,45,90 ותוכל לדעת את הזוית.

 

[orelz]

זה לא נכון לקרוא למשולש זהב 30 60 90

 

[hanan]

זה לא נכון לקרוא למשולש זהב 30 60 90​

לא ידעתי שיש 2 סוגים,
משולש זהב הוא משולש שווה-שוקיים בעל זוויות בסיס של 72 או 36 מעלות, מכיוון שבמשולש זה מתקיימת התכונה הבאה: היחס בין השוקיים לבסיס או לחלופין, בין הבסיס לשוקיים הוא יחס זהב. משולש נוסף המכונה בשם זה הוא משולש ישר-זווית שזוויותיו הן 90, 60, 30. במשולש כזה אורך היתר הוא פי 2 מאורך הניצב הקטן. משולש זהב הוא חצי ממשולש שווה-צלעות.