חידות מתמטיות

[vithano]

מה הקשר?

מה מה הקשר,יש אין סוף מספרים אז יש אין סוף מספרים ראשוניים

 

[DorT]

מה מה הקשר,יש אין סוף מספרים אז יש אין סוף מספרים ראשוניים

למה זה שיש אינסוף מספרים מחייב שיהיו אינסוף מספרים ראשוניים ? תוכיח את מה שאתה אומר

 

[vithano]

למה זה שיש אינסוף מספרים מחייב שיהיו אינסוף מספרים ראשוניים ? תוכיח את מה שאתה אומר

לא רוצה

 

[DorT]

לא רוצה

תוכיח שאתה לא רוצה.

 

[Matty]

למה שלא היו אין סוף מספרים ראשוניים? לא זכור לי שהם נגמרים מתישהו.

 

[Balbazor]

נניח שקבוצת המספרים הראשוניים סופית, ושהיא מונה n איברים.
יהי x = p1*p2*...*pn תוצאת מכפלת כל המספרים הראשוניים. אזי למספר x+1 שארית חלוקה 1 בכל מספר ראשוני, ולכן הוא צריך להיות גם ראשוני, בסתירה לכך שהקבוצה היא סופית.

קחו חידה קשה מאוד:
10 גמדים עומדים בחדר. לכל גמד יש כובע באחד מ10 צבעים, שנבחר רנדומלית. כלומר יכול להיות שלכל גמד כובע בצבע אחר ויכול להיות שלכולם אותו צבע.
הם לא יכולים לדבר ביניהם. כל גמד יכול לראות את הכובע של כל האחרים אבל לא יכול לראות את שלו. בהינתן האות, כולם מציגים פתק בו הם רושמים את צבע הכובע שלדעתם יש להם על הראש. מצאו דרך בה הגמדים יכולים להבטיח שלפחות אחד מהם יגלה את הצבע שלו באופן ודאי.

 

[DorT]

נניח שקבוצת המספרים הראשוניים סופית, ושהיא מונה n איברים.
יהי x = p1*p2*...*pn תוצאת מכפלת כל המספרים הראשוניים. אזי למספר x+1 שארית חלוקה 1 בכל מספר ראשוני, ולכן הוא צריך להיות גם ראשוני, בסתירה לכך שהקבוצה היא סופית.

קחו חידה קשה מאוד:
10 גמדים עומדים בחדר. לכל גמד יש כובע באחד מ10 צבעים, שנבחר רנדומלית. כלומר יכול להיות שלכל גמד כובע בצבע אחר ויכול להיות שלכולם אותו צבע.
הם לא יכולים לדבר ביניהם. כל גמד יכול לראות את הכובע של כל האחרים אבל לא יכול לראות את שלו. בהינתן האות, כולם מציגים פתק בו הם רושמים את צבע הכובע שלדעתם יש להם על הראש. מצאו דרך בה הגמדים יכולים להבטיח שלפחות אחד מהם יגלה את הצבע שלו באופן ודאי.

הגמדים יודעים מראש איזה צבעים יש? כאילו אם יש 10 צבעים אופציונלים ( שלא חייבים להשתמש בכולם) או אינסוף צבעים אופציונלים?
אני מניח שיש רק 10 אופציונלים ונראה לי שיש לי פתרון:

הגמדים יעשו את התהליך הבא על כל צבע מהצבעים האופציונלים (הם מראש יתכננו את הסדר, נגיד בהתחלה הם יבצעו אותו על אדום, אחר כך על כתום, וכך הלאה). נדגים את התהליך עם אדום.

כל גמד סופר כמה כובעים אדומים הוא רואה. אם הוא רואה מספר זוגי של כובעים אדומים הוא הולך לצד ימין של החדר, אחרת הוא הולך לצד שמאל של החדר.

עכשיו, יש לנו שתי קבוצות, ימין ושמאל, ברור שאחת מהן היא הקבוצה של הגמדים בעלי הכובעים האדומים ( כל מי שיש לו כובע אדום יספור X-1 כובעים אדומים, ומי שאין לו כובע אדום יספור X כובעים אדומים). כל קבוצה תסתכל על צבע הכובע של אחד מחבריה, אם הצבע אדום- הגמד יודע שיש לו כובע אדום, אחרת, הוא יודע שאין לו כובע אדום.

עכשיו הקבוצה של הגמדים בעלי כובע אדום "יוצאת מהמשחק", ושאר הגמדים ממשיכים "לשחק" עם הצבע הבא ברשימה.

טוב תכלס יש מצב שמספר הצבעים אינסופי אחרת זה לא כזה קשה, או שממש פישלתי איפשהו


יש לך עוד שאלות של "הוכח ש" בסגנון של ההוכחה שקבוצת המספרים הראשונים היא אינסופית? לווא דווקא בתורת המספרים... פשוט דברים שלא צריך מתמטיקה אקדמית בשביל ההוכחה

 

[DorT]

הגמדים יודעים מראש איזה צבעים יש? כאילו אם יש 10 צבעים אופציונלים ( שלא חייבים להשתמש בכולם) או אינסוף צבעים אופציונלים?
אני מניח שיש רק 10 אופציונלים ונראה לי שיש לי פתרון:

הגמדים יעשו את התהליך הבא על כל צבע מהצבעים האופציונלים (הם מראש יתכננו את הסדר, נגיד בהתחלה הם יבצעו אותו על אדום, אחר כך על כתום, וכך הלאה). נדגים את התהליך עם אדום.

כל גמד סופר כמה כובעים אדומים הוא רואה. אם הוא רואה מספר זוגי של כובעים אדומים הוא הולך לצד ימין של החדר, אחרת הוא הולך לצד שמאל של החדר.

עכשיו, יש לנו שתי קבוצות, ימין ושמאל, ברור שאחת מהן היא הקבוצה של הגמדים בעלי הכובעים האדומים ( כל מי שיש לו כובע אדום יספור X-1 כובעים אדומים, ומי שאין לו כובע אדום יספור X כובעים אדומים). כל קבוצה תסתכל על צבע הכובע של אחד מחבריה, אם הצבע אדום- הגמד יודע שיש לו כובע אדום, אחרת, הוא יודע שאין לו כובע אדום.

עכשיו הקבוצה של הגמדים בעלי כובע אדום "יוצאת מהמשחק", ושאר הגמדים ממשיכים "לשחק" עם הצבע הבא ברשימה.

טוב תכלס יש מצב שמספר הצבעים אינסופי אחרת זה לא כזה קשה, או שממש פישלתי איפשהו


יש לך עוד שאלות של "הוכח ש" בסגנון של ההוכחה שקבוצת המספרים הראשונים היא אינסופית? לווא דווקא בתורת המספרים... פשוט דברים שלא צריך מתמטיקה אקדמית בשביל ההוכחה

@Balbazor זה נכון?

 

[awe1]

אחרי שהתקלתי כמה מורים למתמטיקה עם שאלה 5.. מאיפה אמורים להתחיל בכלל?
@Balbazor

 

[DorT]

אחרי שהתקלתי כמה מורים למתמטיקה עם שאלה 5.. מאיפה אמורים להתחיל בכלל?
@Balbazor

אין לך מה לנסות לגעת אלא אם לומד מתמטיקה ברמה של תואר שני

 

[awe1]

אין לך מה לנסות לגעת אלא אם לומד מתמטיקה ברמה של תואר שני

ככה חשבתי..

 

[Ben]

אין לך מה לנסות לגעת אלא אם לומד מתמטיקה ברמה של תואר שני

כן, חייבים ללמוד קצת טופולוגיה לפני שניגשים לחידה כזאת.

 

[ZzZeus]

היה לי היום אולימפיאדת מחשבים(קשה מאוד) וזה היה מבחן של שאלות לוגיות,אני אנסה להזכר כמה שיותר.
שאלה ראשונה הייתה מה מספר המחרוזות באורך 8 מהמספרים 0,1,2 כשבמספר הספרה קטנה ב1,שווה ל-,גדולה ב1 מזו שמאלה(לא הבנתי את הניסוח)
לדוגמה יש 7 מחרוזות באורך 2 שהתנאי המתקיים הוא 01 00 10 11 12 21 22. ויש רמז שהמספר הימני ביותר הוא 3(לא הבנתי איך זה הגיוני)

 

[DorT]

היה לי היום אולימפיאדת מחשבים(קשה מאוד) וזה היה מבחן של שאלות לוגיות,אני אנסה להזכר כמה שיותר.
שאלה ראשונה הייתה מה מספר המחרוזות באורך 8 מהמספרים 0,1,2 כשבמספר הספרה קטנה ב1,שווה ל-,גדולה ב1 מזו שמאלה(לא הבנתי את הניסוח)
לדוגמה יש 7 מחרוזות באורך 2 שהתנאי המתקיים הוא 01 00 10 11 12 21 22. ויש רמז שהמספר הימני ביותר הוא 3(לא הבנתי איך זה הגיוני)

חידה נחמדה וקשה. הבנתי משמיניסטים שלומדים איפה שלמדתי שהם נתנו את זה למורה של 5 יח' והוא הביא פתרון שגוי ( התלמידים גם לא הצליחו).

קודם כל הניסוח הוא ככה:
מהו מספר המחרוזות באורך 8 אשר מורכבות מן הספרות: 0,1,2 כך שבכל מחרוזת כל ספרה קטנה ב1, שווה ל-, או גדולה ב1 מזו שמשמאלה.

אני אכתוב את התשובה בלבן, אבל אני כבר אומר שיכול להיות שיהיה מאוד קשה להסביר את הפתרון:

אני רוצה שתיצור טבלה.
יש לה 3 טורים: נגמר ב 0, נגמר ב1, ונגמר ב2.
יש לה 8 שורות: עבור רצף באורך 1, עבור רצף באורך 2, עבור רצף באורך 3......... כך הלאה עד עבור רצף באורך 8.

עכשיו נמלא את הטבלה כך: עבור רצף באורך 1 יש רק אפשרות 1 שהוא יגמר ב0, לכן נרשום "1" במשבצת הימנית למעלה ( המשצת הראשונה).
עבור רצף באורך 1 יש רק אפשרות 1 שהוא יגמר ב1, וגם רק אפשרות 1 שהוא יגמר ב2. נמשיך למלא.

עכשיו, עבור רצף באורך 2, יש 3 אפשרויות שהוא יגמר ב1, 2 אפשרויות שהוא יגמר ב2 ו2 אפשרויות שהוא יגמר ב0 ( סה"כ 7 אפשרויות, כמו שכתבת ( 2+2+3)).
עכשיו, לטבלה הזאת יש חוקיות. אני אגיד מה החוקיות אבל תנסה לחשוב לבד למה היא מתקיימת- קצת יהיה קשה להסביר.
אני טוען, שנגיד עבור רצף באורך 3 יהיה 7 אפשרויות שהרצף יגמר ב1, שזה סכום כל האפשרויות של רצף באורך 2.
יהיו 5 אפשרויות שהרצף יגמר ב0, שזה סכום האפשרויות שרצף בין 2 ספרות יגמר ב0 ושרצף בין 2 ספרות יגמר ב1.
יהיו 5 אפשרויות גם שהרצף יגמר ב2, שזה סכום האפשרויות שרצף בין 2 ספרות יגמר ב 2 ושרתף בין 2 ספרות יגמר ב1.

כנ"ל לגבי רצף בין 4 ספרות, יהיו 5+5+7 אפשרויות שרצף בין 4 אפשרויות יגמר ב1.

נמשיך למלא את הטבלה עד שנמלא את השורה השמינית, נסכום את השורה השמינית ונקבל 1393.


תנסה להבין למה החוקיות של הטבלה נכונה. אם אתה לא מבין תכתוב.

@Balbazor @godlin23 @יהושע64 זו חידה מאתגרת, נסו אותה.

 

[vithano]

חידה נחמדה וקשה. הבנתי משמיניסטים שלומדים איפה שלמדתי שהם נתנו את זה למורה של 5 יח' והוא הביא פתרון שגוי ( התלמידים גם לא הצליחו).

קודם כל הניסוח הוא ככה:
מהו מספר המחרוזות באורך 8 אשר מורכבות מן הספרות: 0,1,2 כך שבכל מחרוזת כל ספרה קטנה ב1, שווה ל-, או גדולה ב1 מזו שמשמאלה.

אני אכתוב את התשובה בלבן, אבל אני כבר אומר שיכול להיות שיהיה מאוד קשה להסביר את הפתרון:


זו חידה מאתגרת, נסו אותה.

שים לב שמספר הוא לא חוקי רק אם יש בו את הרצף 02 או 20,תחשוב לבד למה מה שכתבת לא נכון.

 

[ZzZeus]

אם מורה ותלמידים ביב לא הצליחו איך ילד בכיתה י יפתור את זה?לפי דעתי האולימפיאדה הייתה מעל הרמה

 

[Matty]

אם מורה ותלמידים ביב לא הצליחו איך ילד בכיתה י יפתור את זה?לפי דעתי האולימפיאדה הייתה מעל הרמה

כל הפואנטה שלא כל ילד נורמטיבי יצליח לפתור.

 

[ZzZeus]

כל הפואנטה שלא כל ילד נורמטיבי יצליח לפתור.

ברור שלא אני לא ציפיתי שזה יהיה ככה אבל אם מורה למחשבים ויב לא הצליחו אז אין הרבה סיכוי שילדים יצליחו לעבור את שלב א אלא אם כן הם גאונים

 

[vithano]

ברור שלא אני לא ציפיתי שזה יהיה ככה אבל אם מורה למחשבים ויב לא הצליחו אז אין הרבה סיכוי שילדים יצליחו לעבור את שלב א אלא אם כן הם גאונים

זה הבסיס של הבסיס של הסתברות,חומר של כיתה יא' ולא יותר.

 

[Balbazor]

הגמדים יודעים מראש איזה צבעים יש? כאילו אם יש 10 צבעים אופציונלים ( שלא חייבים להשתמש בכולם) או אינסוף צבעים אופציונלים?
אני מניח שיש רק 10 אופציונלים ונראה לי שיש לי פתרון:

הגמדים יעשו את התהליך הבא על כל צבע מהצבעים האופציונלים (הם מראש יתכננו את הסדר, נגיד בהתחלה הם יבצעו אותו על אדום, אחר כך על כתום, וכך הלאה). נדגים את התהליך עם אדום.

כל גמד סופר כמה כובעים אדומים הוא רואה. אם הוא רואה מספר זוגי של כובעים אדומים הוא הולך לצד ימין של החדר, אחרת הוא הולך לצד שמאל של החדר.

עכשיו, יש לנו שתי קבוצות, ימין ושמאל, ברור שאחת מהן היא הקבוצה של הגמדים בעלי הכובעים האדומים ( כל מי שיש לו כובע אדום יספור X-1 כובעים אדומים, ומי שאין לו כובע אדום יספור X כובעים אדומים). כל קבוצה תסתכל על צבע הכובע של אחד מחבריה, אם הצבע אדום- הגמד יודע שיש לו כובע אדום, אחרת, הוא יודע שאין לו כובע אדום.

עכשיו הקבוצה של הגמדים בעלי כובע אדום "יוצאת מהמשחק", ושאר הגמדים ממשיכים "לשחק" עם הצבע הבא ברשימה.

טוב תכלס יש מצב שמספר הצבעים אינסופי אחרת זה לא כזה קשה, או שממש פישלתי איפשהו


יש לך עוד שאלות של "הוכח ש" בסגנון של ההוכחה שקבוצת המספרים הראשונים היא אינסופית? לווא דווקא בתורת המספרים... פשוט דברים שלא צריך מתמטיקה אקדמית בשביל ההוכחה

אסור להם לעשות כלום לפני. שום העברת מסרים כלשהי ביניהם.

אחרי שהתקלתי כמה מורים למתמטיקה עם שאלה 5.. מאיפה אמורים להתחיל בכלל?
@Balbazor

האמת שכדי לפתור את זה בצורה מדויקת צריך ידע במתמטיקה אקדמאית (ספציפית בתהליכים סטוכסטים). אפשר גם לקבל פתרון עם סימולציה, ופתרון בצורה מקורבת גם עם כלים של מתמטיקה אקדמית אבל פחות מתקדמת (משפט הגבול המרכזי)